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戴尔指数

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戴尔指数(Theil Index)是一个衡量经济不平等的统计量,由计量经济学家亨利·戴尔导出的。

数学公式

其公式为

T=sum_{i=1}^N left( frac{x_i}{sum_{j=1}^N x_j} cdot ln{frac{x_i}{overline{x}}} ight)

其中xi为第i个人的收入,overline{x}为平均收入,N为人口数量。加总符号中的第一项可以理解为个人在总收入中所占的比例,第二项为该个人相对于均值的收入。如果每一个人都有相同的收入,即等于均值,则指数为零。如果某个个人拥有所有的收入,则指数为lnN

戴尔指数导自Claude Shannon的信息熵测度。设T为戴尔指数,S为Shannon的测度,则有

T = ln(N) − S

Shannon根据事件发生概率导出的其熵测度。它可以用戴尔系数解释为自某个特定个人处随机取得一块钱的概率。并与其第一项,即总收入中个人所占份额相同。

可分解性

戴尔指数的一个优点是它是某个子群体中不平等的加权和。例如,美国国内的不平等就是每个州的不平等的加权和,由该州收入相对于国家总收入的比值来加权。

如果人口被划分为m个子群体,sk为群体k的收入比例,Tk为该子群体的戴尔指数,而 overline{x}^k为子群体 k的平均收入,则戴尔指数为

T = sum_{k=1}^m s^k T_k + sum_{k=1}^m s^k ln{frac{overline{x}^k}{overline{x}}}

因此,我们可以说某个特定群体给总体“贡献了”一定数量的不平等。

另外一个被广泛使用的不平等度量为基尼系数,该系数对于很多人来说由于基于劳伦斯曲线而非常直观。但是它却没有戴尔指数来得容易分解。

参考

德克萨斯大学戴尔指数简介(英文)

 
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