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欧拉定理

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欧拉定理(Euler Theorem),也称费马-欧拉定理或欧拉{varphi}函数定理

什么是欧拉定理

  欧拉定理指出:如果产品市场和要素市场都是完全竞争的,而且厂商生产的规模报酬不变,那么在市场均衡的条件下,所有生产要素实际所取得的报酬总量正好等于社会所生产的总产品。该定理又叫做边际生产力分配理论,还被称为产品分配净尽定理。如上所述,要素的价格是由于要素的市场供给和市场需求共同决定。在完全竞争的条件下,厂商和消费者都被动地接受市场形成的价格。现在的问题是:要素所有者按照市场形成的要素价格获得收入,全部要素收入是否等于社会总产品?

  在完全竞争的条件下,厂商使用要素的原则是:要素的边际产品价值等于要素价格。即:

  P cdot M P_l=W (9.9)

  P cdot M P_k=r (9.10)

  由式9.9和9.10可得:

  M P_l={Wover P}(9.11)

  M P_k={rover P}(9.12)

  P为产品的价格,W/P和r/P分别表示了劳动和资本的实际报酬。因此在完全竞争的条件下,单位劳动、单位资本的实际报酬分别等于劳动、资本的边际产量。假定整个社会的劳动总量和资本总量为L和K,而社会总产品为Q,那么就有:

  Q=L cdot M P_l+K  cdot M P_k (9.13)

  式9.13称为欧拉分配定理。它是由于该定理的证明使用了数学上的欧拉定理而得名。

欧拉定理的证明

  假设生产函数为:Q=f(L.K)

  由于规模报酬不变,所以生产函数为齐次方程,因此有:

  {Q over L}=f({L over L},{K over L})=f(1,k)=varphi(k)     (k={Kover L})

  k为人均资本,Q/L为人均产量,人均产量是人均资本k的函数。

  {partial Q over partial L} = {{partial [ L cdot varphi (k) ] } over partial L}  = varphi (k) + L cdot {{d varphi (k) } over dk} cdot {dk over dL}   = varphi (k) + L cdot varphi ^prime (k) cdot {dk over dL}   = varphi (k) + L cdot varphi ^prime (k) cdot left( {{-K } over {L^2} } ight)  = varphi (k) - k cdot varphi ^prime (k)

  {partial Q over partial K} = {{partial [ L cdot varphi (k) ] } over partial K}  = L cdot {{partial varphi (k)} over partial k }  = L cdot {{d varphi (k) } over dk} cdot {{partial k} over {partial K}}  = L cdot varphi ^prime (k) cdot {1 over L } = varphi ^prime (k)

  由上面两式,即可证明欧拉定理:

  L cdot {partial Q over {partial L}} + K cdot {{partial Q } over {partial K}}  = L cdot [varphi (k) - k varphi ^prime (k)] + K cdot varphi ^prime (k)  = L cdot varphi (k) - K cdot varphi ^prime (k) + K cdot varphi ^prime (k) = L cdot varphi (k) = Q

  在规模报酬递增情况下,如果按照边际生产力分配,则产品不够分配给各个生产要素,即:

  L cdot {{partial Q } over {partial L}} + K cdot {{partial Q} over {partial K}} > Q(9.14)

  在规模报酬递减情况下,如果按边际生产力进行分配,则产品在分配给各个生产要素之后还有剩余,即:

  L cdot {{partial Q } over {partial L}} + K cdot {{partial Q} over {partial K}} < Q(9.15)

  证明如下:

  如果生产函数 Q=f(L,K)为r齐次,则有:

  Q=L^r cdot varphi (k)

  因此有:

  {{partial Q }over {partial K}} = L^{r-1}varphi ^prime (k)


  {{partial Q }over {partial L}}=r L^{r-1} varphi (k) - L^{r-1}kvarphi ^prime (k)


  L cdot {{partial Q}over {partial L}}+Kcdot {{partial Q} over {partial K}} = rL^r varphi (k) =rQ

  显然在规模报酬递增时,r>1,所以有:


  L cdot {{partial Q}over {partial L}}+Kcdot {{partial Q}over{partial K}} > Q

  在规模报酬递减时, ,所以有:

  L cdot {{partial Q}over {partial L}}+Kcdot {{partial Q}over{partial K}}  < Q

 
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